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ヒストグラム中の最大の長方形の面積

2008.03.04 21:14  動的計画法

ヒストグラム中の最大の長方形の面積


データの離散型分布を表すヒストグラム(柱状グラフ)は、長方形を共通の基線上に並べた多角形として描画されます。これらの長方形は同じ幅を持ちますが、異なる高さのものを含みます。ヒストグラムを表す多角形に含まれる最大の長方形の面積を求めて下さい。入力は各データに対応する長方形の高さの列に対応した n 個の要素からなる1次元配列とします。(source: ACM/ICPC University of Ulm Local Contest)

以下のように、2重ループによって長方形の範囲を選び、そこにできる最大の長方形の面積を計算して更新していけば、全体での最大の面積を求めることができます。これはO(n2)のアルゴリズムです。



001 int getRectangleAreaBF( int size, int buffer[] ){
002 int maxv = 0;
003 for ( int i = 0; i < size; i++ ){
004 for ( int j = i; j < size; j++ ){
005 int minh = INT_MAX;
006 for ( int k = i; k <= j; k++ ){
007 minh = min( minh, buffer[k] );
008 }
009 maxv = max( maxv, minh*(j-i+1));
010 }
011 }
012 return maxv;
013 }



この問題は動的計画法を用いればO(n)のアルゴリズムで解くことができます。この解法は後で考える長方形探索などに応用することができるので重要です。

このアルゴリズムは部分問題の"未解決の"解をスタックに記憶していく、やや巧妙なテクニックを用います。スタックには、長方形の情報を記録します。各長方形は長方形の高さ height とその左端の位置 pos の情報を持たせます。まずスタックを空にし、ヒストグラムの各長方形 rect を左から右へ(i が 0 から n-1 まで)向かって順番に以下の処理を行います。


  1. スタックが空の場合:
      スタックに rect を追加する

  2. スタックの頂点にある長方形の高さが rect の高さより低い場合:
      スタックに rect を追加する

  3. スタックの頂点にある長方形の高さが rect の高さと等しい場合: 
      何もしない

  4. スタックの頂点にある長方形の高さが rect の高さより高い場合:

    • スタックが空でなく、スタックの頂点にある長方形の高さが rect の高さ以上である限り、スタックから長方形を取り出し、その面積を計算し最大値を更新する。長方形の横の長さは現在の位置 i と記録されている左端の位置 pos から計算できる。
    • スタックに rect を追加する。ただし、rect の左端の位置 pos は最後にスタックから取り出した長方形の pos の値とする




以下にアルゴリズムの流れを示します。位置 i におけるスタックには (i - 1) を右端としてできる未完成の長方形のリストが記録されます。図の 1 に示すように最初の5ステップでスタックには4つの未完成の長方形のリストが記録されます。

スタックの応用


図の 2 で6番目のデータである高さ 2 の長方形を追加します。ここから図の 3,4,5 で、2 よりも高い長方形をスタックから順番に取り出し面積を計算します。最後に取り出された高さ 3 の長方形の位置は 1 なので、この現在追加しようとしている高さ 2 の長方形の位置を 1 とします。この時点でスタックには高さ 1 と 2 の未完成の長方形が記録されています。

以下はPOJの解答プログラムです。



001 // pku 2559 (Largest Rectangle in a Histogram)
002 // O(n) algorithm
003 #include<stdio.h>
004 #include<iostream>
005 #include<stack>
006 #include<algorithm>
007 #define MAX 110000
008 typedef long long llong;
009
010 using namespace std;
011
012 struct Rectangle{ llong height; int pos; };
013
014 llong getRectangleArea( int size, llong buffer[]){
015 stack<Rectangle> S;
016 llong maxv = 0;
017 buffer[size] = 0;
018
019 for ( int i = 0; i <= size; i++ ){
020 Rectangle rect;
021 rect.height = buffer[i];
022 rect.pos = i;
023 if ( S.empty() ){
024 S.push( rect );
025 } else {
026 if ( S.top().height < rect.height ){
027 S.push( rect );
028 } else if ( S.top().height > rect.height ) {
029 int target = i;
030 while ( !S.empty() && S.top().height >= rect.height){
031 Rectangle pre = S.top(); S.pop();
032 llong area = pre.height * (i - pre.pos);
033 maxv = max( maxv, area);
034 target = pre.pos;
035 }
036 rect.pos = target;
037 S.push(rect);
038 }
039 }
040 }
041
042 return maxv;
043 }
044
045 main(){
046 int size;
047 llong buffer[MAX+1];
048
049 while(1){
050 scanf("%d", &size);
051 if ( size == 0 ) break;
052 for ( int i = 0; i < size; i++ ) scanf("%lld", &buffer[i]);
053 cout << getRectangleArea( size, buffer ) << endl;
054 }
055 }





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テーマ : プログラミング - ジャンル : コンピュータ

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